حول بعض العلاقات بين متعددات حدود هيرمت وبعض متعددات الحدود الشهيرة والدالة فوق الهندسية

متعددات الحدود المتعامدة بشكل عام ومتعددات حدود هيرمت ولجندر ولاقيرا على وجه الخصوص لها أهمية كبيرة في كافة المجالات الرياضية والفيزيائية والهندسية. هذه الورقة تهدف الى التعرف على كيفية ارتباط متعددات حدود هيرمت ببعض متعددات الحدود المتعامدة الشهيرة مثل متعددات حدود لجندر ومتعددات حدود لاقيرا المعممة. هذا الارتباط بين هذه الانواع من الدوال الخاصة المتعامدة يمنحنا القدرة على اعتبار نظرية كثيرات حدود هيرمت كحالة خاصة من نظرية متعددات حدود ليجندر ولاقيرا المعممة. تجدر الإشارة هنا إلى أن أحد العلاقات بين كثيرات حدود هيرمت ومتعددات حدود لجندر تتضمن الدالة فوق الهندسية. أيضا سنقدم التمثيل الفوق هندسي لمتعددات حدود هيرمت بدلالة الدالة فوق الهندسية وهذا يعطي كثيرات حدود هيرمت ميزة عظيمة وهي امكانية الحصول على الامتداد التحليلي لها في أي جزء من المستوى المركب z. علاوة على ذلك، فإن التمثيل الفوق الهندسي يتيح لنا أيضا تطوير نظرية كثيرات حدود هيرمت من خلال تطبيق النظرية العامة للدالة فوق الهندسية. في هذه الورقة، أظهرنا أنواعًا مختلفة من الصيغ التي تربط كثيرات حدود هيرمت مع كثيرات حدود ليجندر وكثيرات حدود لاقيرا المعممة. الجدير بالذكر هو أن هذه الصيغ تأخذ قوالب رياضية متنوعة حيث أن بعضها يأخذ صورة تكاملية (سواء كان تكامل على المحور الحقيقي أو كنتوري في المستوى المركب) والاخرى تم تقديمها بدلالة المؤثرات والصيغ الاخرى تنشر أحد متعددات الحدود بدلالة الاخرى. هذه الاثراء في التنوع في الاشكال الرياضية للصور المقدمة يتيح لنا مرونة أكثر في تطبيق كثيرات حدود هيرمت في العديد من التطبيقات الرياضية، الفيزيائية والهندسية.